零点定理
零点定理零点定理是介值定理的特例，它说明连续函数在端点异号时必有零点。
定理内容数学定义
定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。
零点定理设函数 f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a, b][a,b] 上连续，且 f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0f(a)⋅f(b)<0，则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a, b)ξ∈(a,b)，使得 f(ξ)=0f(\xi) = 0f(ξ)=0。
ξ\xiξ（Xi）：希腊字母，读作”克西”，在数学中常用来表示中值定理或介值定理中的某一点。
几何意义零点定理的几何意义是：如果连续函数在区间端点的函数值异号，则函数图像必定与 xxx 轴相交。
证明思路利用介值定理：零点定理是介值定理的特例（C=0C = 0C=0）直接证明：构造区间套，利用连续性利用最值定理：通过最值定理证明零点存在 应用例子例子 1：多项式方程问题：证明方程 x2−2=0x^2 - 2 = 0x2−2=0 在 (1,2)(1, 2)(1,2) 内有解。
解：
设 f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2f(x)=x2−2f(1)=−1<0f(1) = -1 < 0f(1)=−1<0，f(2)=2>0f(2) = 2 > 0f(2)=2>0函数在 [1,2][1, 2][1,2] 上连续f(1)⋅f(2)=(−1)×2=−2<0f(1) \cdot f(2) = (-1) \times 2 = -2 < 0f(1)⋅f(2)=(−1)×2=−2<0根据零点定理，存在 ξ∈(1,2)\xi \in (1, 2)ξ∈(1,2) 使 f(ξ)=0f(\xi) = 0f(ξ)=0例子 2：超越方程问题：证明方程 cosx=x\cos x = xcosx=x 在 (0,1)(0, 1)(0,1) 内有解。
解：
设 f(x)=cosx−xf(x) = \cos x - xf(x)=cosx−xf(0)=cos0−0=1>0f(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0f(0)=cos0−0=1>0f(1)=cos1−1≈0.54−1=−0.46<0f(1) = \cos 1 - 1 \approx 0.54 - 1 = -0.46 < 0f(1)=cos1−1≈0.54−1=−0.46<0函数在 [0,1][0, 1][0,1] 上连续f(0)⋅f(1)<0f(0) \cdot f(1) < 0f(0)⋅f(1)<0根据零点定理，存在 ξ∈(0,1)\xi \in (0, 1)ξ∈(0,1) 使 f(ξ)=0f(\xi) = 0f(ξ)=0 注意事项1. 端点异号条件零点定理要求 f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0f(a)⋅f(b)<0，即端点函数值异号。
反例：
f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 在 [0,1][0, 1][0,1] 上连续f(0)=0f(0) = 0f(0)=0，f(1)=1>0f(1) = 1 > 0f(1)=1>0虽然函数在 [0,1][0, 1][0,1] 上有零点，但不满足零点定理的条件2. 闭区间连续函数必须在闭区间上连续。
3. 零点可能不唯一零点定理只保证至少存在一个零点，可能有多个零点。
练习题练习 1设 f(x)f(x)f(x) 在 [0,2][0, 2][0,2] 上连续，且 f(0)=−1,f(2)=3f(0) = -1, f(2) = 3f(0)=−1,f(2)=3，证明 f(x)f(x)f(x) 在 (0,2)(0, 2)(0,2) 内至少有一点 x0x_0x0 使 f(x0)=0f(x_0) = 0f(x0)=0。
参考答案 (3 个标签)闭区间连续性质 最值定理 介值定理解题思路：利用零点定理。
详细步骤：
函数 f(x)f(x)f(x) 在 [0,2][0, 2][0,2] 上连续f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0f(0)=−1<0，f(2)=3>0f(2) = 3 > 0f(2)=3>0f(0)⋅f(2)=(−1)×3=−3<0f(0) \cdot f(2) = (-1) \times 3 = -3 < 0f(0)⋅f(2)=(−1)×3=−3<0根据零点定理，存在 x0∈(0,2)x_0 \in (0, 2)x0∈(0,2) 使 f(x0)=0f(x_0) = 0f(x0)=0答案：存在 x0∈(0,2)x_0 \in (0, 2)x0∈(0,2) 使 f(x0)=0f(x_0) = 0f(x0)=0。
练习 2证明方程 x3−x−1=0x^3 - x - 1 = 0x3−x−1=0 在 (1,2)(1, 2)(1,2) 内有解。
参考答案 (3 个标签)闭区间连续性质 最值定理 介值定理解题思路：利用零点定理。
详细步骤：
设 f(x)=x3−x−1f(x) = x^3 - x - 1f(x)=x3−x−1f(1)=1−1−1=−1<0f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0f(1)=1−1−1=−1<0f(2)=8−2−1=5>0f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0f(2)=8−2−1=5>0函数在 [1,2][1, 2][1,2] 上连续根据零点定理，存在 ξ∈(1,2)\xi \in (1, 2)ξ∈(1,2) 使 f(ξ)=0f(\xi) = 0f(ξ)=0答案：方程在 (1,2)(1, 2)(1,2) 内有解。
练习 3设 f(x)f(x)f(x) 在 [1,3][1, 3][1,3] 上连续，且 f(1)=2,f(3)=−1f(1) = 2, f(3) = -1f(1)=2,f(3)=−1，证明 f(x)f(x)f(x) 在 (1,3)(1, 3)(1,3) 内至少有一点 x0x_0x0 使 f(x0)=0f(x_0) = 0f(x0)=0。
参考答案 (3 个标签)闭区间连续性质 最值定理 介值定理解题思路：利用零点定理。
详细步骤：
f(x)f(x)f(x) 在 [1,3][1, 3][1,3] 上连续f(1)=2>0f(1) = 2 > 0f(1)=2>0，f(3)=−1<0f(3) = -1 < 0f(3)=−1<0f(1)⋅f(3)=2×(−1)=−2<0f(1) \cdot f(3) = 2 \times (-1) = -2 < 0f(1)⋅f(3)=2×(−1)=−2<0根据零点定理，存在 x0∈(1,3)x_0 \in (1, 3)x0∈(1,3) 使 f(x0)=0f(x_0) = 0f(x0)=0答案：存在 x0∈(1,3)x_0 \in (1, 3)x0∈(1,3) 使 f(x0)=0f(x_0) = 0f(x0)=0。
总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义ξ\xiξ希腊字母Xi（克西）中值定理或介值定理中的某一点中英对照中文术语英文术语音标说明零点定理zero point theorem/ˈzɪərəʊ pɔɪnt ˈθɪərəm/连续函数在端点异号时存在零点的定理零点zero point/ˈzɪərəʊ pɔɪnt/函数值为零的点端点异号opposite signs at endpoints/ˈɒpəzɪt saɪnz æt ˈendpɔɪnts/函数在区间端点处的函数值符号相反 上一章节 介值定理 课程路线图1高等数学之函数探秘
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